Keno ist eine Lotterie "der teilnehmenden im Deutschen Lotto- und Totoblock
zusammengeschlossenen Lotterieunternehmen". Zunächst die Spielregeln in Kürze (für die ofizielle, ausführliche
Anleitung klicken Sie bitte auf nebenstehenden Link):
Aus 70 Zahlen werden täglich 20 zufällig ermittelt. Der Spieler hat die Möglichkeit auf bis zu
zehn (aber mindestens zwei) Zahlen zu tippen. Nach der Anzahl der getippten Zahlen und der Anzahl der Treffer
errechnet sich dann der Gewinn.
Eine Besonderheit ist, dass man im Falle eines Tipps von 9 oder 10 Zahlen, bei 0 Treffern
einen Gewinn erziehlt.
Wie errechnet man den zu erwartenden Gewinn für jede Kombination von getippten und getroffenen Zahlen? Folgendermaßen:
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Sprich:
"W’keit (Ziehung 20 aus 70) für k Richtige bei n getippten Zahlen =
(n über k) * (70-n über 20-k) / (70 über 20)"
Wir wollen zum Beispiel wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist vier Richtige bei acht
getippten Zahlen zu haben.
Dazu muss man zunächst einmal wissen, wie viele Viererpaare es überhaupt bei acht Zahlen gibt.
Dies berechnet man mit dem Binomialkoeffizienten
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, in unserem Fall
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das sind 70.
Nun müssen wir herausfinden, wieviele für uns günstige Möglichkeiten existieren, für die restlichen
Zahlen, nämlich
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: Wie viele Zahlenkombinationen aus Nicht-Treffern
(16), aus den Zahlen die wir nicht getippt haben (62) gibt es?
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= 161884603662657876). Das Ergebnis ist etwa: 0,11820.
Das Ziegenproblem ist eines der bekanntesten Probleme aus dem Bereich Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die Situation:
Ein Kandidat hat bei einer Quizshow die Wahlmöglichkeit zwischen drei Türen. Hinter zweien befindet sich eine Ziege,
hinter einer der Hauptpreis, sagen wir: ein Auto.
Nachdem er sich für eine Tür entschieden hat, öffnet der Moderator, der (natürlich) weiß hinter welcher Tür
sich das Auto befindet, eine der zwei nichtgewählten Türen hinter der eine Ziege steht.
Da es wenigstens eine solche Tür gibt, ist dies für ihn kein Problem.
Der Kandidat kann sich nun entscheiden, ob er doch die andere Tür wählt, oder bei seiner
Erstwahl bleibt.
Was soll er tun? Was würden sie tun? Ändert der Wechsel irgendetwas an der Gewinnwahrscheinlichkeit?
Lösung und Erklärung:
Haben Sie schon Kopfschmerzen, weil Sie sich nicht entscheiden können?
Oder sind Sie der Meinung, dass es völlig egal ist, ob man eine neue Tür wählt, oder nicht?
Schließlich gibt es jetzt noch zwei Türen, eine mit einer Niete und einer mit einem Gewinn!
FALSCH! Der Kandidat sollte auf jeden Fall seine Wahl ändern, denn damit steigt seine
Gewinnchance von (vorher) 1/3 auf (jetzt) 2/3:
Am Anfang beträgt die Wahrscheinlichkeit das Auto zu wählen 1/3. Diese Wahrscheinlichkeit ändert
sich auch nicht nach dem Öffnen der Ziegentür. Das Angebot des Moderators zu Wechseln muss man
danach aber folgendermaßen sehen:
Man hat nun die Möglichkeit zu gewinnen, wenn das Auto hinter einem der zwei (am Anfang
nicht gewählten) Tore steht. So verdoppelt sich die Gewinnchance!
Bevor wir Sie noch mit der mathematischen Formel dafür quälen, hier noch die "Sprachlich einfache
Erklärung" von Wikipedia (Hier finden Sie auch eine ausführliche Erlärung mit Grafiken. Siehe
der Link rechts):
"Der Moderator kann nur ein Tor öffnen, hinter dem sich der Gewinn nicht befindet. Ein Kandidat,
der sich immer gegen den Wechsel entscheidet, gewinnt nur, wenn er auf Anhieb das richtige Tor trifft.
Dies geschieht in einem Drittel der Fälle. Ein Kandidat, der immer wechselt, verliert in allen Fällen,
in denen er ohne Wechsel gewonnen hätte, also einem Drittel der Fälle, und gewinnt folglich in zwei
Dritteln der Fälle."
Formel:
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